İçerik
- aşamaları
- Başlamak
- Yöntem 1 Deneme ve hatayla devam et
- Yöntem 2 Ayrıştırma ile devam et
- Yöntem 3 "Üçlü oyun"
- Yöntem 4 İki karenin farkı
- Yöntem 5 Kuadratik formülü kullanma
- Yöntem 6 Hesap makinesini kullanma
Bir polinom, polinomun derecesi olarak adlandırılan belirli bir güce yükseltilmiş bir değişkenden (x) ve diğer birkaç düşük derece ve / veya birkaç başka sabit terimden oluşur. İkinci dereceden bir polinomun çarpanlara ayrılması ("kuadratik denklem" olarak da adlandırılır), ilk ifadeyi, daha sonra biri tarafından çarpılabilen daha küçük dereceli ifadeler ürününe indirgemek anlamına gelir. Bu bilgi lise kursunun bir parçası ve daha fazlasıdır, bu nedenle bu makalede henüz gerekli matematik seviyesine sahip değilseniz bunu anlamak zor olabilir.
aşamaları
Başlamak
-
İfadeni yaz. İkinci derece denklemin standart formu şudur:ax + bx + c = 0
Denkleminizin koşullarını, standart formda olduğu gibi, en büyüğünden en küçüğüne kadar güçlerin sırasına göre düzenleyerek başlayın. Mesela:6 + 6x + 13x = 0
Çalışmayı kolaylaştırmak için basitçe terimleri hareket ettirerek bu ifadeyi yeniden düzenleyeceğiz:6x + 13x + 6 = 0. -
Faktörlü formu aşağıda açıklanan yöntemlerden birini kullanarak bulun. Faktoring, birini birbiri ile çarparsak, ilk polinomu verecek iki kısa ifade verecektir:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Bu örnekte, (2x +3) ve (3x + 2) faktörler İlk ifadenin 6x + 13x + 6. -
İşini kontrol et! Belirlediğiniz faktörleri çarpın. Sonra benzer terimleri birleştirirseniz işiniz bitecektir. İle başla:(2x + 3) (3x + 2)
Bu ifadeyi test etmeye başlayalım, almak için iki ifadenin terimlerini çarpın:6x + 4x + 9x + 6
Oradan, 4x ve 9x ekleyebiliriz, çünkü bunlar aynı derecedeki terimlerdir. O zaman faktörlerimizin doğru olduğunu biliyoruz, çünkü ayrılış ifadesine iyi düştük:6x + 13x + 6.
Yöntem 1 Deneme ve hatayla devam et
Oldukça basit bir polinomla uğraşıyorsanız, bir bakışta faktör ürünü olarak ayrışmasını bulmanız gerekir. Örneğin, birçok matematikçi bu ifadeyi görebilir 4x + 4x + 1 faktörleri (2x + 1) ve (2x + 1) alışkanlık ve tecrübe ile verir (açık ki, bu karmaşık polinomlarda bu kadar basit değildir). Bu örnek için, daha az yaygın bir ifade alalım:
.
-
Katsayı faktörlerinin bir listesini yapın vardır ve c. Formun ifadesini kullanmak ax + bx + c = 0, katsayıları tanımlamak vardır ve c ve karşılık gelen faktörleri listeler. İçin: 3x + 2x - 8, bu verir:a = 3 ve yalnızca bir çift faktör var: 1 * 3 c = -8 ve dört faktör faktörü: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ve -1 * 8 .. -
Kağıdınıza, içine yazmak için boşluk bırakılmış iki çift parantez yazın. Sağlanan alana her ifade için sabitleri gireceksiniz:(x) (x). -
X'ten önce, katsayı için bir çift olası faktör yazın. vardır. Katsayısı için vardır Örneğimizde, 3x, tek bir olasılık var:(3x) (1x). -
Sonra kalan iki boş alanı katsayı için bir çift faktörle doldurun. c. Örnek 8 ve 1'e bakınız. Bunları yazın:(3x8) (X '1). -
İşarete şimdi karar ver (daha veya daha az) x ile onun arkasına yerleştirdiğiniz numara arasına yerleştirmek için. Orijinal ifadenin işaretine göre, sabitlerin belirtilerinin ne olması gerektiğini bulmak mümkündür. çağrı h ve k faktörlerimizin sabitleri:Eğer balta + bx + c ise (x + h) (x + k) Eğer balta - bx - c veya balta + bx - c ise (x - h) (x + k) Eğer balta - bx + c ise (x - h) (x - k)
Örneğimizde, 3x + 2x - 8, işaretler şu şekilde yerleştirilmelidir: (x - h) (x + k), bu bize aşağıdaki iki faktörü verir:(3x + 8) ve (x - 1). -
Faktörlü halinizi yeniden geliştirerek kontrol edin. İlk hızlı test, orta vadede doğru değer olup olmadığını kontrol etmektir. Eğer x iyi değilse, katsayı için yanlış faktör çiftini seçmiş olabilirsiniz. c. Sonuçlarımızı kontrol edelim:(3x + 8) (x - 1)
Çarpma işlemi yaparak şunları elde ederiz:3x - 3x + 8x - 8
Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimleri (-3x) ve (8x) ekleyerek şunları elde ederiz:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Artık yanlış faktörleri belirlediğimizi biliyoruz:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8 arası. -
Gerekirse, seçtiğiniz faktörleri değiştirin. Örneğimizde, 1 ve 8 yerine 2 ve 4'ü deneyelim:(3x + 2) (x4)
Şimdi bizim katsayımız c -8’dir, ancak çarpımlar (3x * -4) ve (2 * x), -12x ve 2x’i verir; ek olarak her zaman başlangıç değerini vermez b, bu + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Gerekirse sırayı tersine çevirin. Örneğimizde 2 ve 4'ün yerini değiştiriyoruz:(3x + 4) (x -2)
Şimdi katsayısı c her zaman iyidir, ama x terimlerinin katsayıları bu zamana değerdir -6x ve 4x. Bir kere eklendiğinde, bu verir:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Bulmak istediğimiz 2x başlangıç değerine çok yakınız, ancak işaret iyi değil. -
Gerekirse işaretleri tekrar kontrol edin. Şimdi aynı sırayı koruyacağız, ancak işaretleri değiştireceğiz:(3x4) (x + 2)
Önceki katsayısı c her zaman iyidir ve x cinsinden terimler artık (6x) ve (-4x) değerindedir. çünkü:6x - 4x = 2x 2x = 2x Yani başlangıçta sahip olduğumuz 2x değerini alıyoruz. Bu yüzden muhtemelen doğru faktörleri bulduk.
Yöntem 2 Ayrıştırma ile devam et
Bu yöntem, katsayıları elde etmek için olası tüm faktörleri tanımlamamızı sağlayacaktır. vardır ve c ve hangi faktörlerin doğru olduğunu belirlemek için bunları kullanın. Sayılar çok büyükse veya diğer deneme ve hata yöntemleri çok uzun görünüyorsa, bu yöntemi kullanabilirsiniz. Aşağıdaki örneği ele alalım:
.
-
Katsayısı çarpın vardır katsayı ile c. Örneğimizde vardır 6'ya eşittir ve c Ayrıca 6'ya eşittir.6 * 6 = 36. -
Katsayısı bulmak b Faktoring ve sonra elde edilen faktörleri test ederek. Ürün faktörleri olan iki sayı arıyoruz vardır * c belirlediğimiz ve toplamı “b” katsayısının değeridir (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Yeni denkleminize aldığınız iki sayıyı girin; Bunları x'in önüne yerleştirin, böylece toplamları katsayıya eşit olur. b. Harfleri alalım k ve h elde edilen iki sayıyı temsil etmek için 4 ve 9:ax + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Polinomunuzu gruplandırarak etkileyin. Denklemi, ilk iki terimin en büyük ortak faktörünü ve son iki terimin en büyük ortak faktörünü bulmak için düzenleyin. Daha sonra iki özdeş faktörlü form toplamı almalısınız. İki katsayıyı toplayın ve bunları faktörlü formunuzun önüne parantez içine alın; Daha sonra iki faktörünüzü alırsınız:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Yöntem 3 "Üçlü oyun"
Bu yöntem öncekine çok benzer. Bu, katsayıların ürünleri için olası faktörlerin incelenmesinden ibarettir. vardır ve c, değerini bulmak için bunları kullanın. b. Örneğin, aşağıdaki denklemi ele alalım:
-
Katsayısı çarpın vardır katsayı ile c. Ayrıştırma yönteminde olduğu gibi, bu, katsayı için potansiyel adayları belirlememize yardımcı olacaktır. b. Örneğimizde vardır 8'e eşittir ve c 2 değerindedir.8 * 2 = 16. -
Ürünü daha önce bulunan sayı (16) ve toplamı "b" katsayısını veren iki sayıyı bulun. Bu adım, ayrıştırma yöntemininkiyle aynıdır - yani sabitleri adayları test eder ve reddederiz. Katsayıların çarpımı vardır ve c 16 eşittir ve katsayısı c 10'a eşittir:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Bu iki sayıyı alın ve "üçlü oyun" formülünde değiştirin. Önceki adıma göre iki numarayı atın - haydi onları arayalım h ve k - ve bunları aşağıdaki ifadeyle tanıtın:((ax + h) (ax + k)) / a
Daha sonra alırız:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Paydaki parantez içindeki ifadelerden hangisinin katsayılarla bölünebilir olduğunu bulun. vardır. Bu örnekte, (8x + 8) veya (8x + 2) 'nin 8'e bölünüp bölünemediğini test ediyoruz. (8x + 8) 8 ile bölünebilir, o zaman bu ifadeyi ikiye böleriz vardır ve diğer ifadeyi olduğu gibi bırakın.(8x + 8) = 8 (x + 1)
Burada tuttuğumuz ifade, katsayının bölünmesinden sonra kalan ifadedir. vardır : (x + 1). -
Bul - eğer varsa - her iki parantez içinde daha büyük bir ortak faktördür. Örneğimizde, ikinci ifade 8x + 2 = 2 (4x + 1) olduğundan daha büyük ortak 2 faktörüne sahiptir. Bu cevabı önceki adımda bulduğunuz ifadeyle birleştirin. Polinomunuzun iki faktörünü buldunuz.2 (x + 1) (4x + 1).
Yöntem 4 İki karenin farkı
Polinomların bazı katsayıları "kareler" olarak tanımlanabilir, yani iki sayının çarpımının bir ürünüdür. Bu kareleri tanımlayarak, bazı polinomları çok daha hızlı çarpanlara ayırabilirsiniz. Örneğin denklemi ele alalım:
-
Mümkünse, her şeyi daha büyük bir ortak faktöre dahil ederek başlayın. Örneğimizde, her ikisi de 3 ile bölünebilen 27 ve 12'yi görüyoruz, bu nedenle ilk ifadeyi aşağıdaki gibi "patlatabiliriz":27x122 = 3 (9x4). -
Denkleminizin katsayılarının kare sayılar olup olmadığını belirleyin. Bu yöntemi kullanmak için, katsayılarınız için karekökler bulabilmelisiniz (negatif işaretleri dikkate almadığımızı not edin - kareler ile uğraşırken, iki pozitif sayının ürünü olabilirler veya negatif)9x = 3x * 3x ve 4 = 2 * 2. -
Bulduğun karekökleri kullanarak faktörlerini yaz. Değerlerini al vardır ve c daha önce bulundu - vardır = 9 ve c = 4 - kareköklerini bulmadan önce - √vardır = 3 ve √c = 2. Bunlar faktoring ifadelerimizin katsayıları olacaktır:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Yöntem 5 Kuadratik formülü kullanma
Yukarıdaki yöntemlerin tümü başarısız olmuşsa ve denkleminiz için doğru faktörleri bulamıyorsanız, ikinci dereceden formülü kullanın. Aşağıdaki örneği ele alalım:
-
"A", "b" ve "c" katsayılarının değerlerini alın ve bunları aşağıdaki ikinci dereceden formülde değiştirin:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Sonra ifadeyi alırız:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
X'i bulmak için denklemi çözün. Yukarıda gördüğünüz gibi, iki değer x almalısınız:
x = -2 + √ (3) veya x = -2 - √ (3). -
Faktörleri bulmak için x değerini kullanın. İki polinom ifadesinin sabitleri olarak önceden elde edilen x değerlerini girin. Bunlar senin faktörlerin olacak. çağrı h ve k x'in değerlerini yazınız ve iki faktörlü formu yazınız:(x - h) (x - k)
Bu durumda, nihai sonuç:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Yöntem 6 Hesap makinesini kullanma
Bir grafik hesap makinesi kullanmanıza izin verilirse, bunun özellikle sınavlar sırasında görevinizi büyük ölçüde kolaylaştıracağını unutmayın. Bu talimatlar sadece Texas Instrument markasının grafik hesap makineleri için geçerlidir. Örneğin, aşağıdaki denklemi ele alalım:
-
Hesap makinesine denkleminizi girin. Ekrandaki "çözümleyici denklemi" ni kullanmanız gerekecek. -
Hesap makinesinde denkleminizin grafik gösterimini yapın. Denklemi girdikten sonra - tuşuna basın, ardından eğrinin grafiksel gösteriminin göründüğünü görmelisiniz (daha kesin olarak, bir "yay" elde edeceksiniz çünkü polinomlar üzerinde çalışıyorsunuz). -
Yayın x ekseni (x) ile kesişme noktalarını bulun. Polinom denklemleri geleneksel olarak şu şekilde yazılır: ax + bx + c = 0, bunlar ifadenin sıfıra eşit olduğu iki x değeridir:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Eğrinizin x eksenini geçtiği değerleri okuyamıyorsanız, ardından düğmesine basın. Basın veya "sıfır" seçeneğini seçin. İmleci kesişme noktalarından birinin soluna getirin ve tuşuna basın. Ardından imleci bu kesişme noktasının sağına getirin ve tekrar basın. Ardından, imleci kesişme noktasına mümkün olduğunca yaklaştırın ve tekrar basın. Hesap makinesi x'in değerini bulur. Diğer kavşak için de aynı şeyi yapın.
-
Son olarak, önceki adımda elde edilen x değerlerini iki faktörlü bir ifadeye dahil edin. Eğer ararsak h ve k iki x değerimiz olduğunda, şu ifadeyi kullanacağız:(x - s) (x - k) = 0
Ve böylece, aşağıdaki iki faktörü elde edeceğiz:(x - (-1)) (x2) = (x + 1) (x2).
- Bir kalem
- kâğıt
- İkinci derece denklem (veya ikinci dereceden denklem)
- Bir grafik hesap makinesi (isteğe bağlı)